முடிவிலியை அறிந்தவன்

கணித மேதை ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் இங்கிலாந்தின் ‘கேம்பிரிட்ஜ்’ பல்கலைக் கழகத்துக்குச் சென்று இறங்குகிறார்.1914 இல்.

ஏற்கனவே அங்கு இருக்கும் கணித அறிஞர்களுக்கு ராமானுஜனது கணித அணுகுமுறை புதிதாகவும், புதிராகவும் இருக்கிறது.ஹார்டி போன்ற கேம்பிரிட்ஜ் கணித அறிஞர்கள் நிரூபணத்தை (Proof) நம்புகிறார்கள்.

ராமானுஜன் அது போன்ற நீண்ட, நெடிய, வழக்கமான(traditional), வழிமுறைகளை (procedure) நம்புவதில்லை. அவற்றுக்கான அவசியமும் அவருக்கு இல்லை. கணிதப் புதிர்களுக்கான சூத்திரங்கள் (formula) அவரது மனக் கண்ணில் தாமாகப் பளிச்சிடுகின்றன. வழிமுறைகள், படிகளை நம்பிக் கொண்டிருக்கும் பேராசிரியர் ‘ஹார்டி’ க்கு இது அதிர்ச்சி தருகிறது.

எப்படி வழிமுறைகள் இன்றி, இடைநிலைப் படிகள் இன்றி ராமானுஜனால் சரியான சூத்திரைத்தை வந்தடைய முடிகிறது என்று வியக்கிறார்.ராமானுஜன் தான் தினமும் வழிபடும் தன் குலதெய்வத்தைக் கை காட்டுகிறார். ‘நாமகிரித் தாயார்’ தன் மனப் பிரதேசங்களில் சூத்திரங்களை பிரத்யட்சமாகக் காட்டுவாதாகச் சொல்கிறார். ‘எப்படிச் செய்கிறேன்’ என்று கேட்காதீர்கள். அது அப்படித்தான், ஒருவித உள்ளுணர்வு (intuition) என்று சொல்கிறார்.

கேம்பிரிட்ஜ்-ஜிலோ பெரும்பாலும் நாத்திகர்கள். ஹார்டி உட்பட. கணிதமும் ஆன்மிகமும் எப்படி ஒருமுகப்படும் என்பதே அவர்களுக்கு நம்பமுடியாத வியப்பு தான். கணிதத்தில் உள்ளுணர்வுகளுக்கு இடமில்லை. இரண்டும் இரண்டும் நான்கு என்று நான் உள்ளுணர்கிறேன் என்று சொல்ல முடியாது. (1+1 =2 என்று நிரூபிப்பதற்கு கணிதத்தில் 300 பக்க புத்தகம் ஒன்று உள்ளது! 2+2 க்கு 750 பக்கப் புத்தகம்!).

இதனால் ஹார்டி தர்ம சங்கடத்துக்குத் தள்ளப் படுகிறார். ‘சூப்பர் ஜீனியஸ்’ ஆன ராமானுஜத்தின் தேற்றங்களை உலகறியச் செய்ய வேண்டும் என்ற ஆசை ஒருபுறம், தேற்றங்களை வெளியிடுவதற்குப் போதுமான formal-ஆன procedure களும் proof களும் வேண்டுமே என்ற நிர்பந்தம் ஒருபுறம் என்று அல்லாடுகிறார்.ராமானுஜத்தால் தேற்றங்களை நிரூபிக்க முடியாது என்பதில்லை. அது அவருக்கு அனாவசியம். (சில நேரங்களில் இரவு முழுவதும் கண் விழித்து ஹார்டி கேட்ட நிரூபணங்களை முடித்துத் தரவே செய்கிறார் !).

கைதேர்ந்த ஓவியன் ஒருவனைப் பார்த்து, ‘எப்படி ஓவியம் வரைகிறாய் என்று படிப்படியாகக் காட்டு! என்று கேட்பது போல, இசைக் கலைஞன் ஒருவனிடம் ‘எப்படி வாசிக்கிறாய், நிரூபி!’ என்று கேட்பது போல. இவருக்குக் கணிதம் ஒரு கலை, ஒரு knack, ஒரு தந்திரம், ஓர் உள்ளுணர்வு, ஒரு பரவசம்!முழு எண் ஒன்றை எப்படியெல்லாம் பிரிக்கலாம் என்கின்றன partition-கள்.

உதாரணாக ‘4’ என்ற எண்ணை 5 விதங்களில் பிரித்து எழுதலாம் (முழு எண்களின் கூடுதலாக)41+32+21+1+21+1+1+1ஜுஜுபி மாதிரித் தோன்றினாலும் பெரிய எண்களுக்கு இந்த partition-களின் எண்ணிக்கை எக்கச்சக்கமாக எகிறுகிறது. உதாரணமாக 100க்கு இப்படிப்பட்ட 19 கோடிக்கும் அதிகமான partition-கள் இருக்கின்றன. 100 என்ற அந்தச் சிறிய எண்ணை 19 கோடிக்கும் மேற்பட்ட வழிகளில் பிரித்து எழுத முடியும்.

(1000 என்ற எண்ணை நினைத்துப் பாருங்கள்!) இதற்கான பொது ‘பார்முலா’ ஒன்றைத் தேடி மண்டையைப் பிய்த்துக் கொண்டிருந்தார்கள் கணித விஞ்ஞானிகள். ராமானுஜனுக்கு இதற்கான பார்முலா லட்டு மாதிரிக் கிடைக்கிறது. ஒரு மாயமந்திரம் போல இந்த formula வில் எந்த எண்ணை உள்ளிட்டாலும் அதற்கான partition-களின் எண்ணிக்கை அப்படியே வெளி வருகிறது.

நமக்கெல்லாம் ஆயிரத்துக்கு மேலே போய் விட்டாலே அந்த எண் ‘பெரிய எண்’ ஆகி விடுகிறது. ஆயிரமும் ஆயிரத்து ஒன்றும் நமக்கு ஒன்று தான். ஆயிரமே நமக்கு infinity தான். ராமானுஜன் பில்லியன்களையும், ட்ரில்லியன்களையும் அனாயாசமாகக் கையாளுகிறார். ஏதோ ஒவ்வொரு எண்ணும் அவருக்கு நெருக்கமான, பரிச்சயமான ஒரு நண்பனைப் போல. மெட்ராசில் இருந்து கப்பலில் ஏறி அமர்ந்ததும் சக பயணி ஒருவர் ‘நாம் ஆறாயிரம் மைல்-கள் கடந்து பயணம் செய்யப் போகிறோம்’ என்று கூறி வியக்கிறார்.

ராமானுஜனோ கூலாக, ‘எனக்கு அதை விடப் பெரிய எண்களைத் தெரியும்’ என்கிறார்.’முடிவிலியை அறிந்தவன்’ என்ற பட்டம் ராமானுஜனுக்கு சாலப் பொருந்தும்.கணித அறிவுலகில் இன்னும் சர்ச்சையை ஏற்படுத்திக் கொண்டிருக்கும் சமன்பாடு 1+2+3+…….+ ∞ = -(1/12). ஒன்றில் இருந்து தொடங்கி எல்லா முழு எண்களையும் தொடர்ந்து கூட்டிக்கொண்டே போனால் என்ன வரும்? நம்முடைய ‘லாஜிக்’ கின் படி ஒரு மிகப்பெரிய ‘அளவிட முடியாத’ எண் தான் வரும். முடிவிலி.

ஆனால் ராமானுஜன் உள்ளுணர்வு வேறு மாதிரியாகச் சொல்கிறது. எல்லா முழு எண்களின் கூடுதல் ஒரு மிகச்சிறிய எண். அதுவும் பூச்சியத்தை விடச் சிறிய எண். (-0.833..). இது ‘ராமானுஜன் கூடுதல்’ (Ramanujan summation). நாமெல்லாம் வழக்கமான வழிமுறையில் கூட்டுவோம். 1+2 = 3, 3+3 =6, 6+4=10 இப்படி. ஆனால் ராமானுஜனின் கூட்டல் நம் common sense-சில் இருந்து நம்பவே முடியாமல் வேறுபடுகிறது.எண்கள் 1,2,3,4… என அதிகரித்துக் கொண்டே போய் எங்கோ ஓர் இடத்தில் u -turn அடித்துத் திரும்பி மீண்டும் பூஜ்ஜியத்தை எதிர் கொள்வது போல.

கோளம் (sphere) ஒன்றில் தொடங்கிய இடத்துக்கே மீண்டும் வந்து விடுவது போல. முடிவிலியும் (infinity) பூஜ்ஜியமும் (zero) ஏதோ ஒரு புதிர்த்தளத்தில் மிக மிக அருகே இருக்கக் கூடும்!முழு எண்களுக்கான [ கூடுதல் என்று பத்தாம் வகுப்பில் ஒரு formula படித்திருப்போம். 1 + 2 + 3 +….+ n = n(n+1)/2.சரி.ஒரு பேச்சுக்கு இதில் negative எண்களை உள்ளிடுவதாக வைத்துக் கொள்வோம்.அதாவது,1 + 2 + 3 + …………. + (-5) = (-5) (-5+1) /2 = -5 x -4 /2 = 10Boom! நேர்மறை எண் !படத்தில் காட்டப்பட்டிருக்கும் graph ஐப் பார்க்கவும்.

நீல நிறத்தில் இருக்கும் வளைந்த விளைவு தான் நம் சார்பு (function) x(x+1)/2இது x அச்சை -1 மற்றும் 0 என்ற புள்ளிகளில் மட்டும் தொட்டு விட்டுப் பின் இரு புறமும் விரிந்து செல்கிறது. மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் படி நாம் 1,2,3,4 என அதிகரித்துக்கொண்டே சென்று -5 ஐ வந்தடைய வேண்டும். (சிவப்பு அம்புக்குறியின் திசையில்). இப்போது மஞ்சள் நிறத்தில் காட்டப்பட்டிருக்கும் positive area வையும் பிங்க் நிறத்தில் காட்டப்பட்டு இருக்கும் positive area வையும் நாம் கழிக்க வேண்டி இருக்கும். பச்சை நிறத்தில் காட்டப்பட்டு இருக்கும் negative area வை மட்டுமே நாம் இணைத்துக் கொள்ள வேண்டி இருக்கும். அந்த negative area வின் பரப்பளவு தான் -1/12in fact , மஞ்சள், பச்சை, pink இவை எல்லாமும் சம பரப்பளவு கொண்ட ஏரியாக்கள் தான். மஞ்சள் = -1/12, பச்சை = -1/12, பிங்க் = +1/12. எவ்வளவு தான் இரண்டு பக்கமும் பரந்து விரிந்தாலும் கொஞ்சமே கொஞ்சம் -1 இல் இருந்து பூஜ்ஜியம் வரை கீழே இறங்கியதால் வந்த வினை இது. இரண்டு பக்கங்களிலும் எல்லாமே cancel ஆகி விட்டன.(என்னடா இது பித்தலாட்டம் என்று கேட்கவேண்டாம். ராமானுஜன் summation )

இது எப்படி இருக்கிறது என்றால் ஒருவர் உங்களுக்கு முதல் நாள் ஒரு ரூபாய் கொடுக்கிறார். இரண்டாம் நாள் இரண்டு ரூபாய், 3ஆம் நாள் மூன்று ரூபாய் etc., பலநாள் கழித்து நீங்கள் கோடீஸ்வரர் ஆகி இருக்கக் கூடும் என்று தானே எதிர் பார்க்கிறீர்கள்? இல்லை.

ஒட்டாண்டி ஆகி விட்டிருக்கிறீர்கள். அதுவும் இல்லாமல் 0.833 ரூபாய் கடன் வேறு இருக்கிறது. ‘என்ன இது பித்தலாட்டம்’ என்று கேட்டால் , ‘அதுவா? உங்கள் தாத்தாவின் தாத்தா என்னிடம் நிறைய கடன் வாங்கி இருந்தார், அதை இப்போது கழித்துக் கொண்டேன்’ என்று சொல்வதைப் போல.’இறைவனை ஞாபகப்படுத்தாத எந்த ஒரு சமன்பாடும் பயனற்றது’ என்றார் ராமானுஜன்.

மேற்கண்ட graph மும் இறைவனை ஞாபகப் படுத்துகிறது. இறைவனை நாம் ‘முடிவிலி, அடைய முடியாதவன், பிடிபடாதவன், அகோசரன்’ என்றெல்லாம் அழைக்கிறோம். ஆனால் அந்த முடிவிலியும் எங்கோ கைக்கு எட்டும் தூரத்தில் தான், மிக அருகில் தான் இருக்கிறது. ஆதியும் அந்தமும் இல்லாமல் இரு புறமும் பரந்து விரிந்திருந்தாலும் இறைவனின் பரப்பு நாம் கைக்கொள்ளும் அளவிலேயே இருக்கிறது. அவன் தான் நமக்காகக் கொஞ்சம் இறங்கி வந்து விட்டானே!

அந்த இற(ர)க்கமே அவனைக் குறுக்கிக் கொள்ளச் செய்து விட்டது. அந்த இறக்கமே அவனது ஆதியும் அந்தமும் இல்லாத தன்மையை cancel செய்து விட்டது. (கிருஷ்ணனுக்கு பிறப்பு இறப்பு இரண்டுமே உண்டு தானே!). முடிவிலி பூஜ்ஜியத்துக்கு நெருங்கி வந்து விட்டது. நமக்காக இரக்கப்பட்டு இறைவனின் ‘ஆதி அந்தம் அற்றவன்’ என்ற புகழ் பறிபோய் விட்டது. பக்தர்களிடம் அன்புக் கடன் வேறு, negative balance வேறு வந்து விட்டது.

அதனால் அவனுக்குக் கவலை இல்லை. அவன் மீண்டும் நம் கைக்குள் அடங்கவே காத்திருக்கிறான். அவன் மீண்டும் இறங்கி வரவே தயாராகி நிற்கிறான். ‘யதா யதா ஹி தர்மஸ்ய’A man who knew infinity – நமக்கும் முடிவிலிகள் பரிச்சயமாகும். அவை நம் கைக்கெட்டும் தூரத்தில் தான் உள்ளன என்று அறிந்து கொள்ளும் போது என்று தோன்றுகிறது.